Второй семестр.
Лекция 7.02.2018
Определение первообразной. Таблица первообразных. Теорема о разности между двумя первообразными одной функции (с доказательством из теоремы Лагранжа). Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Интегрирование разложением и заменой переменной (подведением под дифференциал). Примеры решения задач.
Лекция 14.02.2018
Свойства производных и дифференциалов (повторение). Интегрирование «по частям». Интегрирование тригонометрических выражений. Примеры решения задач.
Лекция 21.02.2018
Интегрирование рациональных функций. Метод неопределенных коэффициентов. Интегрирование некоторых выражений с корнями.
Лекция 28.02.2018
Определенный интеграл. Разбиение отрезка, его диаметр. Размеченное разбиение. Интегральные суммы. Определенный интеграл Римана. Пример неинтегрируемой функции – функция Дирихле. Необходимый признак интегрируемости. Некоторые достаточные условия интегрируемости. (Интегрируемость непрерывной функции; без доказательства). Свойства определенного интеграла. Геометрический смысл определенного интеграла. Теоремы о среднем. Определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Лекция 7.03.2018
Свойства определенного интеграла с переменным верхним пределом. Теорема Ньютона-Лейбница. Теоремы об интегрировании разложением, заменой переменной и по частям в определенном интеграле. Практические задачи. Нахождение площади криволинейной трапеции, площади, ограниченной графиками функций. Вычисление площади кривой, заданной параметрически. Площадь эллипса и астроиды.
Лекция 14.03.2018
Формула для площади кривой в полярных координатах. Площадь кардиоиды и лемнискаты Бернулли. Длина дуги кривой, заданной уравнением y=f(x). Длина кривой, заданной параметрически. Вычисление длины астроиды. Длина кривой в полярных координатах.
Лекция 21.03.2018
Подведение итогов темы “Интегральное исчисление”. Определенный интеграл как площадь. Примеры решения дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными. Функции нескольких переменных.
Лекция 28.03.2018
Предел функции нескольких переменных. Определение и свойства предела. Пример функции, не имеющей предела в точке. Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций. Обобщение на случай нескольких переменных свойств функций, непрерывных на отрезке. Дифференцируемость функции нескольких (двух) переменных. Частные производные. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью. Пример функции z=|x|+|y| – непрерывной, но не дифференцируемой в т. (0;0).
Лекция 04.04.2018
Пример функции двух переменных, у которой есть частные производные в точке, но она сама в этой точке разрывна. Достаточное условие дифференцируемости функции – непрерывность ее частных производных (без док-ва). Пример, показывающий, что достаточное условие не является необходимым. Геометрический смысл дифференцируемости числовой функции двух переменных z=f(x;y). Касательная плоскость и ее уравнение. Дифференциал функции.
Локальный экстремум. Необходимое условие экстремума. Пример, показывающий, что необходимое условие не является достаточным. вторые частные производные – повторные и смешанные. Теорема о равенстве смешанных производных. Достаточное условие экстремума функции двух переменных (без доказательства). Примеры решения задач.
Лекция 11.04.2018
Производная сложной функции нескольких переменных. Инвариантность первого дифференциала. Второй дифференциал; его неинвариантность. Дифференцирование неявной функции нескольких переменных (в т.ч. теорема о существовании неявной функции).
Производная по направлению. Вектор-градиент. Направление наибольшего изменения функции. Касательная плоскость к поверхности. Нормаль к поверхности.
Вектор-функция одного числового аргумента (годограф). Касательная прямая к пространственной кривой в точке.